Лекция №7

Лекция 7. Двумерные случайные величины.

1. Функция распределения

Определение 1. Двумерным случайным вектором (или двумерной СВ) называется совокупность случайных величин :

Z Δ
= col(X,Y),

где X и Y - СВ.

Пример 1. Скорость ветра в текущий момент времени в конкретной точке на поверхности Земли является двумерной СВ.

Определение 2. Функция распределения F(x,y) двумерной СВ

Z Δ
= col(X,Y)

задается соотношением

F(x,y) Δ
= P{X ≤ x, Y ≤ y} Δ
= P({ω : X(ω) ≤ x}{ω : Y(ω) ≤ y}).

Замечание 1. Предполагается, что СВ X(ω) и Y(ω) определены на одном и том же пространстве Ω элементарных событий ω.

Пример 2. Пусть опыт G состоит в бросании одновременно двух монет. Тогда элементарным событием будет положение упавших монет. Пусть СВ X(ω) - число выпавших "гербов'', а СВ Y(ω) - расстояние между монетами. В этом случае X(ω) - дискретная СВ со значениями x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, а Y(ω) - непрерывная СВ с реализациями в R¹.

Замечание 2. Значение функции распределения F(x₁,y₁) равно вероятности попадания двумерной СВ (X,Y) в бесконечный квадрант D₁₁ с вершиной в точке (x₁, y₁) (см. рис.1).

Рисунок 1.

Замечание 3. Далее вместо записи P{ω : X(ω) ≤ x, Y(ω) ≤ y} будет часто использоваться более краткая P{X ≤ x, Y ≤ y}.

С в о й с т в а F(x,y) :

1) F(x,y) определена для всех (x,y) О R², так как вероятность P{X ≤ x, Y ≤ y} определена для всех x,y О R¹.

2) 0 ≤ F(x,y) ≤ 1 для всех x,y О R¹. По аксиоме A1 и свойству 5)P для любого события выполняется 0 ≤ P(A) ≤ 1 , поэтому по определению F(x,y) О [0,1].

3) F(-∞,y) = F(x,-∞) = F(-∞,-∞) = 0 для всех x,y О R¹. Например, рассматривая

B_n Δ
=
{ω : Y(ω) ≤ -n}, где n = 1, 2, ... ,

можно по аналогии с доказательством свойства 3)F(x) установить, что

F(-∞,y) ≤
l i m
^n→∞ P(B_n) = P( Ж ) = 0.

4) F_Y(y) = F(+∞,y), F_X(x) = F(x,+∞) для всех x,y О R¹, где F_X(y) и F_Y(x) - функции распределения СВ X и Y соответственно. Это свойство можно установить, следуя доказательству свойства 3)F(x), т.к. {ω : X(ω) ≤ +∞} = {ω : Y(ω) ≤ +∞} = Ω.

5) F(+∞,+∞) = 1. В силу свойства 4)F(x,y) имеем

F(+∞,+∞) = F_X(+∞) _3)F(x) = 1.

6) F(x,y) - монотонно неубывающая по каждому из аргументов. Т.к. для Δx > 0 имеем

F(x+Δx,y) Δ
= P{X ≤ x+Δx, Y ≤ y} _A3 =

= P{X ≤ x,Y ≤ y} + P{x < X ≤ x + Δx, Y ≤ y}, так как рассматриваемые события несовместны. По аксиоме A1 имеем F(x + Δx,y) ≥ F(x,y). Монотонность F(x,y) по y доказывается аналогично.

7) Если F(x,y) непрерывна по x и y, то вероятность попадания СВ Z в прямоугольник D = {x₁ ≤ x ≤ x₂, y₁ ≤ y ≤ y₂} равна

P(D) Δ
= F(x₂,y₂) + F(x₁,y₁) - F(x₁,y₂) - F(x₂,y₁),

где F(x_i,y_j), (i,j = 1,2) - вероятности попадания СВ Z в квадранты D_ij с соответствующими вершинами (x_i,y_j), i,j = 1,2 (см. рис.2):

Рисунок 2.

Представим квадрант D₂₂ тремя способами в виде суммы непересекающихся множеств

D₂₂ = D + D₁₂ \ D₁₁ + D₂₁ \ D₂₂ = D + D₂₁ \ D₁₁ + D₁₂,
D₂₂ = D + D₁₂ \ D₁₁ + D₂₁ \ D₁₁ + D₁₁. Тогда по формуле сложения вероятностей имеем P(D₂₂) = P(D) + P(D₁₂ \ D₁₁) + P(D₂₁),
P(D₂₂) = P(D) + P(D₂₁ \ D₁₁) + P(D₁₂),
P(D₂₂) = P(D) + P(D₁₂ \ D₁₁) + P(D₂₁ \ D₁₁) + P(D₁₁). Из последних двух равенств следует, что P(D₁₂ \ D₁₁) = P(D₁₂) - P(D₁₁). Подставляя это выражение в первое равенство, получаем P(D) = P(D₂₂) + P(D₁₁) - P(D₁₂) - P(D₂₁). Из замечания 2 вытекает, что P(Dij) = F(x_i,y_j), i = 1,2, j = 1,2. Подставляя данные значения функции распределения F(x,y) в формулу для P(D), приходим к требуемому утверждению.

Определение 3. Двумерная СВ

Z Δ
= col(X,Y)

называется дискретной, если СВ X и Y дискретны.

Замечание 4. Простейшим способом задания закона распределения дискретной двумерной СВ Z является таблица:
Таблица 1
Y
X y₀ y₁ . . . y_m
x₀ p₀₀ p₀₁ . . . p_0m

x₁ p₁₀ p₁₁ . . . p_1m

.
.
. .
.
. .
.
. . . . .
.
.

x_n p_n0 p_n1 . . . p_nm

Здесь

p_ij Δ
=
P{X = x_i, Y = y_j}, i = 0, n ; j = 0, m ,

с условием нормировки:

_n
∑
ⁱ⁼⁰ _m
∑
^j=0 p_ij = 1.

Функция распределения имеет вид

F(x,y) = _n
∑
ⁱ⁼⁰ _m
∑
^j=0 p_ij l(x-x_i)•l(y-y_j),

где l(.) - единичные ступенчатые функции (см. Л4.Р2.О4.).

Таблица 1
Y X	y₀	y₁	. . .	y_m
x₀	p₀₀	p₀₁	. . .	p_0m
x₁	p₁₀	p₁₁	. . .	p_1m
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
x_n	p_n0	p_n1	. . .	p_nm

Определение 4. СВ X и Y называются независимыми, если

F(x,y) = F_x(x)F_Y(y) для всех x О R¹, y О R¹.

Замечание 5. Пусть

Z Δ
= col(X,Y) -

- дискретная СВ, т.е. X и Y - одномерные дискретные СВ с реализациями x₀, ... , x_n и y₀, ... , y_m. Можно показать, что СВ X и Y являются независимыми тогда и только тогда, когда для всех i = 0, n ; j = 0, m .

P{X = x_i, Y = y_j} = P{X = x_i}•P{ Y = y_j}.

2. Плотность распределения

Определение 1. Неотрицательная функция f(x,y) называется плотностью распределения (плотностью вероятности) двумерной непрерывной СВ

Z Δ
= col(X,Y),

если

F(x,y) = _x
∫
^-∞ ( _y
∫
^-∞ f(x, y) dy ) dx = 1.

При этом двумерная СВ Z называется непрерывной.

Замечание 1. Из математического анализа следует, что в точках непрерывности плотность f(x,y) равна второй смешанной производной функции распределения:

f(x,y) = ∂²F(x, y)
∂x ∂y .

С в о й с т в а f(x,y) :

1) f(x, y) ≥ 0 для всех x, y О R¹. Это вытекает из определения 1.

2)

P(D) = x₂
∫
x₁ y₂
∫
y₁ f(x, y) dy dx , где

D Δ
= {x₁ ≤ x ≤ x₂, y₁ ≤ y ≤ y₂} .

По свойству 7)F(x,y) и определению 1 имеем

P(D) = F(x₂,y₂) - F(x₂,y₁) - F(x₁,y₂) + F(x₁,y₁) Δ
=

Δ
=
x₂
∫
-∞ y₂
∫
-∞ f(x, y) dy dx - x₂
∫
-∞ y₁
∫
-∞ f(x, y) dy dx - x₁
∫
-∞ y₂
∫
-∞ f(x, y) dy dx +

+ x₁
∫
-∞ y₁
∫
-∞ f(x, y) dy dx = x₂
∫
x₁ y₂
∫
y₁ f(x, y) dy dx .

3)

P(D) =
∫ ∫
D f(x, y) dx dy ,

где D - произвольная область на плоскости R². Доказательство проведем для непрерывной f(x,y). Рассмотрим бесконечно малый прямоугольник

ΔD Δ
= {x ≤ X ≤ x + Δx, y ≤ Y ≤ y + Δy}.
Согласно свойству 2)f(x,y) можно записать

P(ΔD) =
_x+Δx
∫
^x
_y+Δy
∫
^y
f(x, y) dx dy =
|
по теореме
о среднем
значении
|
≈ f(x, y) Δy Δx.

Таким образом, элемент вероятности f(x,y)dxdy с точностью до бесконечно малых высшего порядка равен вероятности попадания двумерной СВ Z = col(X,Y) в бесконечно малый прямоугольник, прилегающий к точке (x,y). Так как произвольную область D М R² можно представить с любой степенью точности в виде объединения конечного числа непересекающихся бесконечно малых прямоугольников ΔD, то из аксиомы A3 (см. замечание Л3.Р2.З2) следует формула для вероятности попадания СВ (X,Y) в D.

4)

+∞
∫
-∞ +∞
∫
-∞ f(x, y) dy dx = 1,

поскольку

+∞
∫
-∞ +∞
∫
-∞ f(x, y) dy dx Δ
=
F(+∞,+∞) _5)F(x,y) =
1 .

5)

F_X(x) = x
∫
-∞ +∞
∫
-∞ f(t, y) dy dt , F_Y(y) = y
∫
-∞ +∞
∫
-∞ f(x,y) dx dy; ,

где F_X(x), F_Y(y) - функции распределения СВ X и Y. Например,

F_X(x) _4)F(x,y) =
F(x,+∞) Δ
=
x
∫
-∞ +∞
∫
-∞ f(x, y) dy dx .

Для F_Y(y) утверждение доказывается аналогично.

6)

f_X(x) = +∞
∫
-∞ f(x, y) dy , f_Y(y) = +∞
∫
-∞ f(x, y) dx.

Это вытекает из свойства 5) и определения Л4.Р3.О2.

7) Пусть СВ

V Δ
= φ(X,Y),

где φ(x, y) - заданная скалярная функция аргументов x, y О R¹ , такая что

+∞
∫
-∞ +∞
∫
-∞ |φ(x, y)|f(x, y) dx dy < +∞.

Тогда можно показать, что

M[V] = +∞
∫
-∞ +∞
∫
-∞ φ(x, y)f(x, y) dx dy.

8) Для независимости непрерывных СВ X и Y необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

f(x, y) = f_X(x)f_Y(y) во всех точках непрерывности этих функций. Действительно, по определению плотности

_y
∫
^-∞

_x
∫
^-∞

f(x, y) dx dy = F(x, y) =

в силу незави-
симости

= F_X(x)F_Y(y) =

_Л4.Р3.О2 =

x
∫
-∞

f_X(x) dx

y
∫
-∞

f_Y(y) dy =

x
∫
-∞

y
∫
-∞

f_X(x)f_Y(y) dx dy .

Откуда следует свойство 8).

Замечание 2. Свойство 6)f(x,y) позволяет по плотности вероятности двумерной СВ Z найти плотность вероятности СВ X и Y.

9) Если непрерывные СВ X и Y независимы, то справедлива формула свертки плотностей, т.е. плотность распределения СВ

V Δ
= X + Y

имеет вид

f_V(v) = +∞
∫
-∞ f_X(x) f_Y(v-x) dx ,

где f_X(x), f_Y(y) -- плотность распределения СВ X и Y. Пусть

D Δ
= {x, y : x + y ≤ v} .

Тогда

F_V(v) Δ
=
P{X + Y ≤ v} _2)f(x,y) =

∫ ∫
D f(x, y) dx dy _8)f(x,y) =

=
∫ ∫
D f_X(x),f_Y(y) dx dy = +∞
∫
-∞ f_X(x) ( v-x
∫
-∞ f_Y(y) dy) dx = || y Δ
=
t - x || =

= +∞
∫
-∞ f_X(x) ( v
∫
-∞ f_Y(t-x) dt) dx = v
∫
-∞ +∞
∫
-∞ f_X(x)f_Y(t-x) dx dt .

Отсюда согласно Л4.Р3.О2 вытекает формула свертки.

Замечание 3. Можно показать также, что

f_V(v) = +∞
∫
-∞ f_X(v-x) f_Y(y) dy ,

Пример 1. Пусть равномерно распределенные СВ X ~ R(a,b), Y ~ R(a,b) независимы. Рассмотрим СВ

Z Δ
= X + Y.

Пользуясь формулой свертки, найдем плотность вероятности СВ Z. Учтем, что в данном случае подынтегральное выражение отлично от нуля лишь когда 2a ≤ ν ≤ 2b, а именно,

f_X(x) = 1
b-a , если a ≤ x ≤ b,   f_Y(v - x) = 1
b-a , если a ≤ v - x ≤ b.

Рассматривая два случая взаимного расположения отрезков, на которых плотности одновременно отличны от нуля, получаем

f_V(v) =    1
(b-a)² v-a
∫
a dx = v-2a
(b-a)² , если 2a ≤ v ≤ a + b,

f_V(v) =    1
(b-a)² b
∫
v-b dx = 2b-v
(b-a)² , если a + b < v ≤ 2b.

Таким образом, получаем выражение для плотности треугольного распределения (распределения Симпсона) (см. рис. 3)

f_V(v) =
{
0
v-2a
(b-a)²
2b-v
(b-a)² , v < 2a, v > 2b,

, 2a ≤ v ≤ a + b,

, a + b ≤ v ≤ 2b.

Рисунок 3.

Лекция 7. Двумерные случайные величины.

1. Функция распределения

С в о й с т в а F(x,y) :

2. Плотность распределения

С в о й с т в а f(x,y) :

Лекция 8. Оглавление

Лекция 8.
Оглавление